28.05.2015.

Žablja posla

Nedavno sam gledao jedan kratki video TED-Eda. Čuli ste za TED talkove? E, ovo su njihovi kratki animirani filmići putem kojih educiraju ljude. Format je izgleda zamišljen da bude privlačan mladeži, ali teme nekad znaju biti prezahtjevne i za odrasle.

Ovaj filmić je zagonetka o otrovnim gljivama i ljekovitim žabama. Pogledajte ga, nije dug, štoviše je zabavan.

Za one kojima se ne da gledati video, evo ukratko sažetak:

U šumi si pojeo otrovnu gljivu. Jedini spas ti je spoj koji izlučuje ženka jedne vrste žabe. Na panju ispred sebe vidiš žabu te vrste, ali vidom se ne možeš zaključiti je li mužjak ili ženka. U isto vrijeme iza sebe čuješ kreket muške žabe, okrećeš se i vidiš dvije žabe na proplanku. Jedna od njih je očito mužjak, ali možda je druga ženka? Opet, nemoguće je zaključiti pogledom. Imaš još snage tek da dođeš ili do panja da lizneš jednu žabu ili do proplanka da lizneš obje. Koja strategija ti nosi veću vjerojatnost preživljavanja?

Video navodi kako je vjerojatnost da je bilo koja od ovih žaba ženka 50%, stoga je šansa da ćeš preživjeti odabirom panja je 50%. No od ovih dvaju na proplanku jedna je sigurno muškog roda (ona koja se glasala), a za drugu ne znamo. Ona koja se nije glasala je 50% ženka, pa je onda valjda svejedno hoćemo li se uputiti do proplanka ili do panja. Zar ne?

TED-Ed kaže ne! Ako se vratiš na proplanak, vjerojatnost preživljavanja je 2/3. Logika im je ovakva:

Postoje četiri jednako vjerojatne kombinacija dvaju žaba: mužjak-mužjak, mužjak-ženka, ženka-mužjak i ženka-ženka. Čuo si mužjaka, stoga situaciju ženka-ženka možeš isključiti. Ostaju ti tri jednako vjerojatne kombinacije, a u dvije od njih tri na proplanku imamo spasonosnu ženku!

Jel' curica ili dečko?

Objašnjenje mi se učinilo sasvim dobro, dok nisam pročitao komentar koji je tvrdio da je rješenje krivo. Naime, kad čujemo jedan muški kreket, okrenemo se i ugledamo dvije žabe, je li razumno pretpostaviti kako vidimo kombinacije MM, MŽ i ŽM s istom vjerojatnosti? Vjerojatnije je da ćemo čuti kreket mužjaka ako su na čistini dva mužjaka, nego samo jedan. Što sam više razmišljao to sam postajao sigurniji da je TED-Ed uspio zabrljaviti priču o problemu "Curica ili dečko". Taj problem je obično formuliran ovako:

Gospodin Smith ima dvoje djece, od kojih je bar jedan dječak. Kolika je vjerojatnost da g. Smith ima dva sina?

Kako bi ste shvatili o čemu se radi, zamislite roditelja koji popunjava anketu na kojoj su tri pitanja:

1. Koliko djece imate? (od 1 do 99)
2. Imate li muške djece? (DA ili NE)
3. Jesu li vam sva djeca istog spola? (DA ili NE)

Vidite kako je gospon Smith odgovorio na prva dva pitanja s "2" i "DA" i krenuo je na treće. Kolika je vjerojatnost će na zadnje pitanje odgovoriti s DA? Razmislite malo prije nego što nastavite čitati. Pretpostavite da je spol svakog djeteta nezavisan od druge djece u obitelji i da se jednako često rađaju curice i dječaci.

Problem je lako riješiti ako zamislite jako veliki roditeljski sastanak. Svi roditelji popunjavaju upitnik redom. Nakon prvog pitanja zamolite da ostanu oni koji su napisali "2". Tih roditelja imamo četiri "vrste":

Svaka ova skupina je podjednako velika jer su vjerojatnosti za ovakve obitelji jednake. Recimo stoga da nam je ostalo sto roditelja, po 25 od svake vrste. Nakon drugog pitanja zamolimo sve koji su odgovorili NE da izađu. Sad nam ostaje 75 roditelja, jer su samo oni iz skupine ŽŽ zaokružili NE.

Sad dolazi ključno pitanje: koliko će od tih 75 ljudi odgovoriti DA na treće pitanje? Očito, samo 25 — oni vrste MM. Vjerojatnost da je gospon Smith zaokružio "DA" na trećem pitanju je stoga 25/75 = 1/3. Dvaput je vjerojatnije da ima curicu i dečka nego dva dečka.

Multisvemir dolazi u spas

Jesu li onda i ženke žabe na proplanku dvostruko vjerojatnije od dva mužjaka? Primijenimo slično razmišljanje i na isti način testirajmo TED-Edove zaključke. Stvorit ćemo paralelne svemire u kojem blesavi tipovi jedu otrovne gljive i ližu ljekovite žabe i izbrojat ćemo koliko puta se događa koji ishod.

Slično je postupio i predavač u TED-Edovom videu, samo što je ignorirao kreketanje. Postupci rješavanja ove zagonetke koji dolaze do kontradiktornih zaključaka se tipično razlikuju po tome koje situacije uzimaju u obzir. Izbjeći ćemo tu zamku tako da uzmemo u obzir sve varijacije koje su u definiciji zadatka. Ako žaba ispred tebe zakrekeće, otklonit će svu neizvjesnost i ti slučajevi nam ne utječu na konačan izračun vjerojatnosti. No postoje ukupno tri bitne situacije vezane uz žabe koje su iza tebe, i logične reakcije na te postupke. Samo jedna od njih je problematična u TED-Edovom videu, i vezano uz nju imamo dvije strategije ponašanja koje ćemo označiti slovima A i B. Tri situacije su:

• Žabe se ne glasaju. Ideš dalje jer ih nisi primijetio.
• Obje muške žabe se glasaju. Ideš dalje jer je očito da iza tebe nije nijedna ženka.
• Jedna muška žaba se glasa. Ovo je zanimljiv slučaj: ovdje strategija A kaže da se vratimo, a B kaže da produžimo.

Pitanje je: je li strategija A, koja odstupa od strategije B samo u situaciji kad čujemo jedan mužjakov kreket iza nas, isplativija? Hoće li u tim paralelnim svemirima preživjeti više gljivojeda? TED-Ed video tvrdi da hoće, ja kažem da neće.

No prije toga malo o pretpostavkama. Vjerojatnost da će mužjak iza nas zakreketati je 50% (za svaku od žaba nezavisno). Ova vjerojatnost nije navedena u videu, no dokle god su vjerojatnosti kreketanja neovisne o ponašanju žaba, poanta ostaje ista. Ako i ženke žabe krekeću, to opet ne mijenja ishod jer se strategije u tim slučajevima ne razlikuju po ishodu.

Dakle, evo sve jednako vjerojatne situacije u multisvemiru u kojima se naš junak mogao naći. Žabin spol je predočen bojom, a kreket otvorenim ustima. Prikazani su ishodi za situaciju iz priče. U svim drugim situacijama, ishodi primjene Strategije A ili Strategije B se ne razlikuju.

Prikaži sve situacije

Vidimo da su strategije A i B jednako uspješne i da je vjerojatnost preživljavanja jednaka. Naprijed, nazad — svejedno je. Priča o žabama se stvarno razlikuje od priče o dva sina zbog tog vražjeg kreketanja. Kreket nam je fiksirao točno jednu određenu žabu s proplanka kao mužjaka, i druga je ostala neovisno o njoj 50-50 mužjak odnosno ženka.

Roditelj je proplanak

Preslikajmo to na roditeljski sastanak od prije. Onih sto roditelja dvoje djece zamolite da u glavi odaberu nasumično jedno od svoje djece. Jesu li odabrali jedno od njih dvoje? Dobro, sad neka dignu ruku ako je odabrano dijete dječak. Otprilike pola dvorane diže ruku. Pitanje je, koliko od onih koji su digli ruku imaju dva sina?

Svih 25 iz vrste MM će dignuti ruku, jer je nemoguće da su zamislili djevojčicu. Nijedan roditelj ŽŽ neće imati dignutu ruku jer je nemoguće da su zamislili dječaka. Otprilike pola roditelja iz vrsta MŽ i ŽM će imati dignutu ruku jer je kod njih šansa 50% da su zamislili dječaka, dakle u prosjeku još 25. Ukupno od 50 ljudi koji su digli ruku pola ih ima djecu istog spola.

Ova situacija se točno preklapa sa žabama na proplanku, konkretno:

• roditelj je proplanak
• djeca su žabe
• dizanje ruku roditelja je kreket s proplanka

Kako bi simulirali situaciju, rezultat (jedna trećina) i objašnjenje iz TED-Edove priče ruku bi morali dignuti baš svi roditelji koji imaju muško dijete. No to nema smisla kod žaba: u tom slučaju bi mužjak bi uvijek zakreketao kad je u društvu ženke, ali kad je u društvu drugog mužjaka onda bi točno jedan od njih dvojice morao zakreketati, dok bi drugi morao šutjeti. Jel vam to zvuči kao razumna interpretacija? TED-Edovo objašnjenje je jednostavno krivo.

I? U čemu je problem?

Žabe, babe, gljive, djeca... koga briga? Kakve bi to moglo imati veze s ičim što vam je u životu bitno? Ako ne planirate po šumama jesti opasno raslinje i igrati ruski rulet s žabama, sigurno se pitate zašto vam o svemu ovom pričam.

Da vas podsjetim malo što je bilo na vrhu stranice. Ovaj video je osmislio sveučilišni profesor koji je htio baš demonstrirati važan princip teorije vjerojatnosti. Neki animator se dobro pomučio da ga profesionalno prezentira. TED — vrhunski svjetski brand u edukaciji točno ovakvih tema — ga je objavio u svojoj ultra-popularnoj zbirci videa. U trenutku kad ovo pišem, manje od tri mjeseca od objave videa na YouTubeu, registrirano je više od milijun i po pregleda ovog videa samo na tom sajtu. I sad imamo edukacijski video koji krivo uči. Nije da su fulali u nekoj sitnici za koju se kačim, nije da su dobro objasnili glavnu stvar a zeznuli neku usputnu. Ne, omašili su ceo fudbal. Krivo su objasnili točno onu stvar koju su pažljivo naumili objasniti točno. I ignorirali upozorenja.

Ne govorim to zato što da ocrnim TED, iako je ovo dobar primjer zašto ni poznatim edukatorima ne treba vjerovati na riječ. Niti se iščuđavam kako im se mogla dogoditi greška. Ova žablja zagonetka nije baš najjednostavniji problem na svijetu, ali nije ni nesavladiv. Možda i blesavo zvuči, ali nije toliko apstraktan da se ne može zamisliti realna situacija u kojoj bi znanje rješavanja ovakvog zadatka stvarno moglo nekome spasiti glavu.

Vjerojatnost je teška, ponovio sam to već na ovom sajtu. Teška ali užasno važna. Rekao bih kako je razumijevanje matematičke vjerojatnosti jedna od najvažnijih vještina modernog čovjeka. S ovakvim iskustvima, možemo li se osloniti na to da uopće znamo što radimo? Možemo li se osloniti na svoju intuiciju?

Ne, ne možemo. Ono što nam treba je zaključivanje iz osnovnih principa, pa i simulacije na računalu ako treba, uz vrlo pažljivu interpretaciju. Čak i najmanje razlike u interpretaciji nas mogu dovesti do kontradiktornih zaključaka. Stoga, pamet u glavu, ali ne oslanjajte se samo na glavu. Kako kaže druga poslovica: Tko nema u glavi ima u nogama. To jest u rukama, da marljivo raspiše sve matematičke situacije. I ne jedite otrovne gljive, mogle bi vam umanjiti sposobnost zaključivanja :)

Tweet