Prije nekog vremena na televiziji se emitirala nagradna igra zvana Uzmi ili ostavi. Natjecatelj u toj igri je redom otvarao kutije i otkrivao nagrade koje neće dobiti, pokušavajući procjeniti koliko vrijedi nagrada u njegovoj kutiji.
Zamislite da igrate sličnu igru, i da su osim vaše (nazovimo je kutijom K) neotvorene ostale još samo dvije kutije: X i Y. U jednoj od njih se krije milijun kuna, a u preostale dvije se nalazi po jedan šipak. Postoji jednaka vjerojatnost da je milijun kuna u bilo kojoj od tri preostale kutije.
Pravila ove naše igre su nešto drugačija, jer ovdje voditelj zna u kojoj kutiji se nalazi milijun. Od dvije preostale kutije, on sada mora otvoriti jednu u kojoj zna da nije milijun, ili X ili Y. Nakon što se publika uvjerila da je u njoj šipak, voditelj vam se obrati sa posljednjim pitanjem:
Ostala mi je još samo jedna neotvorena kutija, uz ovu koju vi držite. Prije nego što otvorimo vašu kutiju, nudim vam priliku da se predomislite. Da li se želite zamjeniti?
Onda? Želite li se zamijeniti? Što vam daje veću mogućnost osvajanja milijun kuna?
Krivo. Ljudima su neskloni riskirati da izgube nešto što su "imali", pa ovakva reakcija nije neobična. Međutim, ako razmišljate samo u terminima vjerojatnosti, ovaj odabir nema baš smisla. Pokušajte ponovno.
Ne. Većini ljudi se čini da je svejedno koju će kutiju zadržati. Budući da su ostale još dvije kutije u kojima bi mogao biti milijun kuna, čini se kako je jednako vjerojatno da je ispod vaše kao i da nije. Pa ipak, ovo nije točan odgovor. Pokušajte ponovno.
Točno! Najisplativija strategija je zamjena. Vjerojatnost da je milijun kuna u vašoj kutiji K je još uvijek jedna trećina, dok je u preostaloj kutiji Y dvije trećine. Dvostruko je vjerojatnije da se milijun nalazi u kutiji Y!
Kad je ekvivalentna zagonetka, tamo nazvana Monty Hall problem, izašla u američkom časopisu Parade, tisuće čitatelja (mnogi od njih profesori matematike i doktori znanosti) pisali su autorici Marilyn vos Savant ogorčeni što se objavljuje očito netočno rješenje. Tvrdili su kako je svejedno koja se kutija odabere:
Zabrljavili ste! Kao profesionalni matematičar, brinem se oko nedostatka matematičkog znanja u javnosti. Pomozite tako što ćete priznati kako ste pogriješili i ubuduće budite pažljiviji.
Profesor matematike sa Sveučilišta u Georgetownu na kraju je zavapio:
Koliko još iziritiranih profesora matematike vam mora pisati da promjenite svoje mišljenje?!
Ako je vjerovati tim pismima stručnjaka, jednako je vjerojatno da ćete milijun pronaći u kutiji K kao i u kutiji Y. No, razmislimo ipak malo sami. Vjerojatnost da je milijun u kutiji K je 1/3. Vjerojatnost da je milijun nije u K nego u kutiji X ili u kutiji Y je 2/3. Drugim riječima, dvije kutije su dvostruko vrijednije od samo jedne. Ali, ako imamo samo dvije neotvorene kutije, zar one nisu jednako vrijedne?
Ljude zbunjuje ovo otvaranje kutije X koje je eliminira iz skupa mogućih milijunskih kutija. Da je voditelj otvorio jednu od preostalih kutija slučajno, i slučajno se dogodilo da je u njoj bio šipak, preostale dvije kutije bi imale jednaku vjerojatnost. Međutim, igra nije takva. Voditelj uvijek otvara baš onu u kojoj je šipak — tek ako zna da je u obje šipak, nasumično otvara jednu od njih.
Zamislite onda da ste zatvorili oči prije nego što je voditelj otvorio jednu od preostalih kutija. Unaprijed znate što ćete čuti: voditelj pokazuje publici da je u jednoj od te dvije kutije šipak. Međutim, vi niste vidjeli, niti vas je briga koju je kutiju on otvorio. Sve što vas zanima je da, umjesto svoje jedne kutije, dobijete sav novac koji se nalazio u one druge dvije. Matematika je u stvari jednostavna:
vjerojatnost da ćete milijun zaraditi zadržavanjem svoje kutije
=
vjerojatnost da je milijun u kutiji K
=
1 — 3
vjerojatnost da ćete milijun zaraditi zamjenom kutija
=
vjerojatnost da milijun nije u kutiji K
=
2 — 3
Zaključak: dvostruko je vjerojatnije da ćete doći do nagrade ako se zamjenite, nego ako zadržite svoju kutiju.
Ako se još niste pomirili s tim da je zamjena pametnija strategija, ne očajavajte. Ovaj po svim kriterijima jednostavan zadatak iz vjerojatnosti je toliko kontraintuitivan za ljudski mozak da ga samo mali broj ljudi uspije riješiti samostalno. Čak su i vrhunski matematičari i Nobelovci imali problema s prihvaćanjem točnog odgovora. Neki nisu vjerovali dok sami nisu isprobali koliko često određena strategija dovodi do točnog rješenja.
Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1995). The Monty Hall Dilemma
Prava pouka koju smo dobili iz ove priče je: vjerojatnost je teška. Čovjek nije sposoban intuitivno računati s vjerojatnostima, a s njima se svakodnevno susreće. Stoga, naučite našto više o vjerojatnosti i statistici. Trebat će vam.
