Trokut u trokutu

Dobro! Sad će program odabrati nasumično jednu od tri crvene točke i izračunati koja točka leži na pola puta između T i tog vrha. Kliknite na gumb Sljedeća točka.

Sljedeća točka

Dobivena točka na pola puta do slučajno odabranog vrha je sad novi T i s tom točkom ponavljamo isti postupak: ponovno se slučajno odabire jedan vrh i računa točka na pola puta do tog vrha. Kliknite na tipku Sljedeća točka par puta da vidite kako to izgleda. Svakim korakom dobit ćemo još jednu točku na papiru. Kad vam dosadi, možete proći sto takvih koraka klikom na sljedeću tipku:

Ponavljaj 100 koraka

Što vam se čini, kako će se točke rasporediti po ekranu? Da li će svaki dio ekrana biti podjednako popunjen, ili ima nekih "rupa" koje upadaju u oči? Probajte malo razmisliti prije nego što kliknete na tipku koja crta još tisuću takvih koraka:

Ponavljaj 1000 koraka

S vremenom možete vidjeti da raspodjela točaka nije nepravilna. Prepoznajete da u sredini ima jako malo ili nimalo točaka, i da se bliže vrhovima pojavljuju slične trokutaste rupe i kako ti manji "pod-trokuti" izgledaju slično kao i cijeli trokut.

Trokut Sierpińskog

Ovaj fraktalni uzorak se zove trokut Sierpińskog. Takav lik možete i sami nacrtati na papiru. Počnete od bilo kakvog trokuta. Zatim spojite točke koje su polovišta njegovih stranica i tako dobijete četiri manja trokuta. Središnji trokut ostavite prazan, a s ostala tri ponovite istu akciju. Tako onda ponavljate dok trokuti koje upisujete ne postanu dovoljno mali da se više ne isplati crtati. Rezultat izgleda ovako:

Pusti animaciju

Trokut Sierpińskog smo na početku dobili metodom koja se zove igra kaosa: počevši od slučajne točke ponavljali smo jednostavnu transformaciju dok točke nisu počele "upadati" u uzorak koji ima neka zanimljiva svojstva.

Kako to da je ova transformacija (prepolavljanje udaljenosti do nekog vrha) vodi baš do trokuta Sierpińskog? Pa, ispostavilo se da trokut Sierpińskog S ima ova svojstva:

1. Ako je točka T u trokutu S, onda su i sve točke na pola puta između T i nekog vrha isto tako u trokutu S.
2. Ako je točka T udaljena razmak d od najbliže točke u trokutu S, onda su i sve točke na pola puta između T i svakog vrha trokuta S za neki faktor manje udaljene od trokuta S.

Iako početna točka možda uopće nije u trokutu S, svaka sljedeća točka će se geometrijskom progresijom približavati njegovim točkama i iscrtavati sve vjerniju i vjerniju sliku tog fraktala.

Što nam ova priča govori?

Ponekad je potrebno puno podataka da se otkrije globalna slika. Na se početku činilo da su točke nasumično raspoređene po papiru. Tek nakon puno iteracija, nakon stotine podataka, počela se nazirati pravilnost.

I u slučaju postoji pravilnost. Iako je početna točka potpuno nasumična i svaki odabir vrha isto tako, dobivene točke se ne ponašaju tako. Umjesto mrlje i šuma, dobili smo vrlo složen i (nakon više iteracija) vrlo pravilan lik.

I jednostavni modeli mogu imati složeno ponašanje. Trokut Sierpińskog je vizualno složen uzorak, ima neku dubinu i ljepotu detalja zbog kojeg nam ne izgleda kao da može nastati tako jednostavnim postupkom kao što je prepolavljanje udaljenosti do tri čvrste točke. No, kao što nas teorija kaosa uči, i vrlo jednostavni modeli mogu ispoljiti vrlo složeno i nepredvidljivo ponašanje.

Tweet